Cu ajutorul seturilor tehnologice se modelează procesele de producție care sunt realizate de sistemul de producție. Fiecare sistem are intrări și ieșiri:

Procesul de producție este prezentat ca un proces de transformare fără ambiguitate a factorilor de producție în produse de producție într-un interval de timp dat. În acest interval de timp, factorii dispar complet și apar produse.

Cu o astfel de modelare - transformarea factorilor în produse - rolul structurii interne a sistemului de producție, organizarea acestuia și metodele de management al producției este complet ascuns.

Observatorii au acces la informații despre starea intrărilor și ieșirilor sistemului. Aceste stări sunt determinate, pe de o parte, de un punct din spațiul bunurilor și factorilor, iar pe de altă parte, starea ieșirilor este determinată de un punct din spațiul ieșirilor.

Modelele spațiale includ mulți factori spațiali, mulți parametri spațiali și multe tehnologii disponibile.

Tehnologia este o modalitate tehnică de transformare a factorilor de producție în produse.

Un proces tehnologic este un set ordonat de doi vectori, unde este vectorul factorilor de producție și este vectorul produselor. Procesul tehnologic este cel mai simplu model de spațiu, care este specificat dintr-un număr de elemente:

Astfel, procesul tehnologic este descris de un set de (n+ m) numere: .

De exemplu, să luăm un computer de tip A și, adică este produs un computer, apoi acest proces tehnologic este descris 7+1=8 numere.

În practica modelării sistemelor reale de producție se folosește ca primă aproximare ipoteza tehnologiilor liniare.

Linearitatea tehnologiei implică o creștere a produselor V cu seturi crescânde de factori U.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale proceselor tehnologice:

1. Similaritate.

Procesul tehnologic este similar, adică. ~ dacă condiția este îndeplinită: , ceea ce înseamnă că acesta este același proces tehnologic, dar procedând cu intensitate:

Pentru astfel de procese, sistemul de egalități este îndeplinit:

Procese similare se află pe aceeași linie de tehnologie de producție.

2. Diferența.

Procesele tehnologice diferite se află pe raze diferite și nu pot fi transformate unele în altele prin înmulțirea cu un număr pozitiv.

3. Procese tehnologice compozite.

Un proces se numește compozit dacă există și , că .

Un proces care nu este compus se numește bazic.

Raza care trece prin origine în direcția procesului de bază se numește raza de bază. Fiecare fascicul de bază corespunde unei tehnologii de bază, iar toate punctele de pe fasciculul de bază reflectă procese tehnologice similare.

Prin definiție, un proces tehnologic de bază nu poate fi exprimat printr-o combinație liniară a altor procese tehnologice.

În octantul pozitiv, puteți plasa un hiperplan care decupează segmentele de unitate din fiecare coordonată.

Acest lucru vă permite să vizualizați tehnologiile de producție.

Să arătăm posibile intersecții ale hiperplanului cu raze tehnologice.

1) Singura tehnologie disponibilă este de bază.

2) Apariția unei noi tehnologii de bază suplimentare.

3) Combinație liniară a două tehnologii de bază.

4) A treia tehnologie de bază suplimentară.

5) Posibilitatea de a forma tehnologii aflate în interiorul zonei triunghiulare.

6) Două zone triunghiulare cu șase tehnologii de bază.

7) Tehnologii de combinare - un hexagon convex.

8) Este posibil cazul cu un număr infinit de tehnologii de bază.

În aceste imagini grafice, toate punctele interne și de limită, cu excepția vârfurilor, reflectă procesele tehnologice constitutive, iar mulțimea tuturor proceselor tehnologice se numește mulțime tehnologică. Z.

Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:

1. Nerealizand cornucopia.

(Ø, V)Z, prin urmare, V= Ø.

(Ø, Ø) Zînseamnă inacțiune.

2. Mulțimea tehnologică este convexă, iar procesele ale căror raze se află la limita acestui set se pot amesteca între ele.

3. Setul tehnologic este limitat de sus din cauza resurselor economice limitate.

4. Setul tehnologic este închis, iar tehnologiile eficiente se află la granița acestui set.

O proprietate specifică a seturilor tehnologice este existența unor procese ineficiente.

Dacă , atunci sunt posibile orice procese tehnologice care satisfac condiția (pentru factori) (pentru produse).

Există ( ,Ø) Z, ceea ce înseamnă distrugerea completă a factorilor de producție. În el nu apar deloc produse.

Procesul tehnologic este mai eficient decât dacă și/sau.

FUNCȚIA DE PRODUCȚIE.

Descrierea matematică a unui proces eficient poate fi convertită într-o funcție de producție prin agregarea factorilor de producție, precum și agregarea produselor de producție într-un singur produs.

2. Seturi de producție și funcții de producție

2.1. Seturi de producție și proprietățile acestora

Să luăm în considerare cel mai important participant la procesele economice - un producător individual. Producătorul își realizează obiectivele doar prin intermediul consumatorului și, prin urmare, trebuie să ghicească, să înțeleagă ce vrea și să-și satisfacă nevoile. Vom presupune că există n bunuri diferite, cantitatea celui de-al n-lea produs se notează cu x n, apoi un anumit set de bunuri este notat cu X = (x 1, ..., x n). Vom lua în considerare numai cantități nenegative de bunuri, astfel încât x i  0 pentru orice i = 1, ..., n sau X > 0. Mulțimea tuturor mulțimilor de bunuri se numește spațiul bunurilor C. O mulțime de bunurile pot fi tratate ca un coș în care aceste bunuri se află în cantități adecvate.

Fie economia să funcționeze în spațiul bunurilor C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Spațiul produs este format din vectori n-dimensionali nenegativi. Să considerăm acum un vector T de dimensiunea n, ale cărui prime m componente sunt nepozitive: x 1, …, x m  0, iar ultimele (n-m) componente sunt nenegative: x m +1, …, x n  0. Vector X = (x 1,…, x m ) să numim vector de cost, iar vectorul Y = (x m+1 , …, x n) – vector de eliberare. Să numim vectorul T = (X,Y) vector de intrare-ieșire sau tehnologie.

În sensul său, tehnologia (X,Y) este o modalitate de procesare a resurselor în produse finite: prin „amestecarea” resurselor în cantitate de X, obținem produse în cantitate de Y. Fiecare producător specific este caracterizat de un anumit set τ de tehnologii, care se numește set de productie. Un set umbrit tipic este prezentat în Fig. 2.1. Acest producător folosește un produs pentru a produce altul.

Orez. 2.1. Set de productie

Setul de producție reflectă amploarea capacităților producătorului: cu cât este mai mare, cu atât capacitățile sale sunt mai largi. Setul de producție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

este închis - asta înseamnă că, dacă vectorul de intrare-ieșire T este aproximat la fel de precis pe cât se dorește de vectorii din τ, atunci T aparține și lui τ (dacă toate punctele vectorului T se află în τ, atunci Tτ vezi Fig. 2,1 punctele C și B) ;

în τ(-τ) = (0), adică dacă Tτ, T ≠ 0, atunci -Tτ – costurile și producția nu pot fi schimbate, adică producția este un proces ireversibil (mult – τ este în al patrulea cadran , unde y este 0);

mulţimea este convexă, această ipoteză duce la o scădere a randamentului resurselor prelucrate cu o creştere a volumelor de producţie (la o creştere a ratei cheltuielilor cu produsele finite). Deci, din fig. 2.1 este clar că y/x  scade pe măsură ce x  -. În special, ipoteza convexității conduce la o scădere a productivității muncii pe măsură ce producția crește.

Adesea, convexitatea pur și simplu nu este suficientă și atunci este necesară o convexitate strictă a setului de producție (sau a unei părți a acestuia).

2.2. Curba posibilităților de producție

și costuri de oportunitate

Conceptul de producție pus în discuție se distinge printr-un grad ridicat de abstractizare și, datorită generalității sale extreme, este de puțin folos pentru teoria economică.

Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.1. Să începem cu punctele B și C. Costurile pentru aceste tehnologii sunt aceleași, dar rezultatul este diferit. Producătorul, dacă nu este lipsit de bun simț, nu va alege niciodată tehnologia B, deoarece există o tehnologie C mai bună. În acest caz (vezi Fig. 2.1), găsim pentru fiecare x  0 punctul cel mai înalt (x, y). ) în setul de producţie . Evident, la costul x, tehnologia (x, y) este cea mai bună. Nicio tehnologie (x, b) cu funcția de producție b. Definiția exactă a funcției de producție:

Y = f(x)(x, y) τ, iar dacă (x, b)  τ și b  y, atunci b = x .

Din fig. 2.1 este clar că pentru orice x  0 un astfel de punct y = f(x) este unic, ceea ce, de fapt, ne permite să vorbim despre o funcție de producție. Dar situația este atât de simplă dacă este produs un singur produs. În cazul general, pentru vectorul cost X notăm mulţimea M x = (Y:(X,Y)τ). Set M x – este ansamblul tuturor rezultatelor posibile la costuri X. În această mulțime, luați în considerare „curba” posibilităților de producție K x = (YM x: dacă ZM x și Z  Y, atunci Z = X), adică K x – acestea sunt multe dintre cele mai bune versiuni, nu există nici una mai bună. Dacă sunt produse două bunuri, atunci aceasta este o curbă, dar dacă sunt produse mai mult de două bunuri, atunci aceasta este o suprafață, un corp sau un set de dimensiuni și mai mari.

Deci, pentru orice vector de cost X, toate cele mai bune rezultate se află pe curba posibilităților de producție (suprafață). Prin urmare, din motive economice, producătorul trebuie să aleagă tehnologia de acolo. Pentru cazul eliberării a două mărfuri y 1, y 2, imaginea este prezentată în Fig. 2.2.

Dacă operăm doar cu indicatori fizici (tone, metri etc.), atunci pentru un vector de cost dat X trebuie doar să alegem vectorul de ieșire Y pe curba posibilităților de producție, dar care producție specifică trebuie aleasă nu poate fi încă decis. Dacă mulțimea de producție τ în sine este convexă, atunci M x este de asemenea convex pentru orice vector de cost X. În cele ce urmează, vom avea nevoie de convexitatea strictă a mulțimii M x. În cazul producției a două bunuri, aceasta înseamnă că tangenta la curba posibilităților de producție K x are un singur punct comun cu această curbă.

Orez. 2.2. Curba posibilităților de producție

Să luăm acum în considerare întrebarea așa-zisului costuri de oportunitate. Să presupunem că ieșirea este fixă ​​în punctul A(y 1 , y 2), vezi Fig. 2.2. Acum este nevoie să creștem producția celui de-al doilea produs cu y 2, folosind, desigur, același set de costuri. Acest lucru se poate face, după cum se poate observa din fig. 2.2, transferarea tehnologiei la punctul B, pentru care, cu o creștere a producției celui de-al doilea produs cu y 2, va fi necesar să se reducă producția primului produs cu y 1.

Imputatecheltuieliprimul produs în raport cu al doilea la punct A numit
. Dacă curba posibilităților de producție este dată de ecuația implicită F(y 1 ,y 2) = 0, atunci δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), unde derivatele parțiale sunt luate la punctul A. Dacă vă uitați cu atenție la figura în cauză, veți găsi un model interesant: când vă deplasați în jos pe curba posibilităților de producție de la stânga, costurile de oportunitate scad de la valori foarte mari la valori foarte mici. .

2.3. Funcțiile de producție și proprietățile lor

O funcție de producție este o relație analitică care conectează valori variabile ale costurilor (factori, resurse) cu cantitatea de producție. Din punct de vedere istoric, una dintre primele lucrări privind construcția și utilizarea funcțiilor de producție a fost munca de analiză a producției agricole din Statele Unite. În 1909, Mitscherlich a propus o funcție de producție neliniară: îngrășăminte - randament. În mod independent, Spillman a propus o ecuație a randamentului exponențial. Pe baza acestora, au fost construite o serie de alte funcții de producție agrotehnică.

Funcțiile de producție sunt concepute pentru a modela procesul de producție al unei anumite unități economice: o companie separată, industrie sau întreaga economie a statului în ansamblu. Cu ajutorul funcțiilor de producție sunt rezolvate următoarele probleme:

evaluarea returnării resurselor în procesul de producție;

prognozarea creșterii economice;

dezvoltarea de opțiuni pentru un plan de dezvoltare a producției;

optimizarea funcționării unei unități de afaceri supuse unui anumit criteriu și limitări de resurse.

Forma generală a funcției de producție: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), unde Y este un indicator care caracterizează rezultatele producției; X – indicator factor al i-a resursă de producție; n – numărul de indicatori factori.

Funcțiile de producție sunt determinate de două grupe de ipoteze: matematice și economice. Din punct de vedere matematic, funcția de producție este de așteptat să fie continuă și dublu diferențiabilă. Ipotezele economice sunt următoarele: în absența a cel puțin unei resurse de producție, producția este imposibilă, adică Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Cu toate acestea, nu este posibil să se determine în mod satisfăcător singura producție Y pentru costurile date X folosind indicatori naturali: alegerea noastră sa restrâns doar la „curba” posibilităților de producție K x . Din aceste motive, a fost dezvoltată doar teoria funcțiilor de producție ale producătorilor, a cărei producție poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un singur produs, fie valoarea totală a întregii producții.

Spațiul de cost este m-dimensional. Fiecare punct din spațiul costului X = (x 1, ..., x m) corespunde unei singure rezultate maxime (vezi Fig. 2.1) produsă folosind aceste costuri. Această relație se numește funcție de producție. Cu toate acestea, funcția de producție este de obicei înțeleasă mai puțin restrictiv și orice relație funcțională între intrări și ieșiri este considerată o funcție de producție. În cele ce urmează, vom presupune că funcția de producție are derivatele necesare. Se presupune că funcția de producție f(X) satisface două axiome. Prima dintre acestea afirmă că există un subset de spațiu de cost numit zona economica E, în care o creștere a oricărui tip de intrare nu duce la o scădere a producției. Astfel, dacă X 1, X 2 sunt două puncte ale acestei regiuni, atunci X 1  X 2 implică f(X 1)  f(X 2). În formă diferenţială, aceasta se exprimă prin faptul că în această regiune toate derivatele parţiale prime ale funcţiei sunt nenegative: f/x 1 ≥ 0 (pentru orice funcţie crescătoare derivata este mai mare decât zero). Aceste derivate se numesc produse marginale, iar vectorul f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vector al produselor marginale (arată de câte ori se va schimba producția de producție atunci când costurile se schimbă).

A doua axiomă afirmă că există o submulțime convexă S a domeniului economic pentru care submulțimile (XS:f(X)  a) sunt convexe pentru tot a  0. În această submulțime S, matricea hessiană compusă din derivate secunde ale funcției f(X) , este definită negativ, prin urmare,  2 f/x 2 i

Să ne oprim asupra conținutului economic al acestor axiome. Prima axiomă afirmă că funcția de producție nu este o funcție complet abstractă inventată de un teoretician matematic. Ea, deși nu în întregul său domeniu de definire, ci doar parțial, reflectă o afirmație importantă din punct de vedere economic, incontestabilă și în același timp trivială: VÎntr-o economie rezonabilă, o creștere a costurilor nu poate duce la o scădere a producției. Din a doua axiomă vom explica doar sensul economic al cerinței ca derivata  2 f/x 2 i să fie mai mică decât zero pentru fiecare tip de cost. Această proprietate se numește în economie in spateLegea randamentelor descrescatoare sau a randamentelor descrescatoare: pe măsură ce costurile cresc, începând de la un moment dat (la intrarea în regiunea S!), cuprodusul marginal începe să scadă. Exemplul clasic al acestei legi este adăugarea din ce în ce mai multă forță de muncă la producția de cereale pe o bucată fixă ​​de pământ. În cele ce urmează, se presupune că funcția de producție este considerată pe o regiune S în care ambele axiome sunt valabile.

Puteți crea o funcție de producție pentru o anumită întreprindere fără să știți măcar nimic despre ea. Trebuie doar să plasați un contor (fie o persoană, fie un fel de dispozitiv automat) la poarta întreprinderii, care va înregistra X - resursele importate și Y - cantitatea de produse pe care întreprinderea le-a produs. Dacă acumulați o cantitate suficientă de astfel de informații statice și luați în considerare funcționarea întreprinderii în diferite moduri, atunci puteți prezice producția, cunoscând doar volumul resurselor importate, iar aceasta este cunoașterea funcției de producție.

2.4. Funcția de producție Cobb-Douglas

Să luăm în considerare una dintre cele mai comune funcții de producție - funcția Cobb-Douglas: Y = AK  L , unde A, ,  > 0 sunt constante,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Negativitatea derivatelor parțiale secundare, adică produse marginale descrescătoare: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Să trecem la principalele caracteristici economice și matematice ale funcției de producție Cobb-Douglas. Productivitatea medie a muncii este definit ca y = Y/L – raportul dintre volumul de produs produs și cantitatea de muncă cheltuită; productivitatea medie a capitalului k = Y/K – raportul dintre volumul produsului produs și valoarea fondurilor.

Pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea medie a muncii y = AK  L  , iar din cauza condiției , cu creșterea costurilor muncii, productivitatea medie a muncii scade. Această concluzie permite o explicație firească - întrucât valoarea celui de-al doilea factor K rămâne neschimbată, înseamnă că forța de muncă nou atrasă nu este dotată cu mijloace de producție suplimentare, ceea ce duce la o scădere a productivității muncii (acest lucru este valabil și în cazul cel mai general – la nivelul seturilor de producţie).

Productivitatea marginală a muncii Y/L = AβK α L β -1 > 0, ceea ce arată că pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea marginală a muncii este proporțională cu productivitatea medie și este mai mică decât aceasta. Productivitatea capitalului medie și marginală sunt determinate în mod similar. Pentru ei este valabil și raportul indicat - productivitatea marginală a capitalului este proporțională cu productivitatea medie a capitalului și este mai mică decât aceasta.

O caracteristică importantă este de exemplu raportul capital-muncă f = K/L, care arată volumul de fonduri per angajat (pe unitate de muncă).

Să aflăm acum elasticitatea muncii a producției:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Deci sensul este clar parametru - Acest elasticitatea (raportul dintre productivitatea marginală a muncii și productivitatea medie a muncii) producției prin muncă. Elasticitatea forței de muncă a producției înseamnă că pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea volumului resurselor de muncă cu %. Are o semnificație similară parametru – este elasticitatea producției între fonduri.

Și încă un sens pare interesant. Fie  +  = 1. Este ușor de verificat că Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substituind Y/K, Y/L calculate anterior în această formulă). Să presupunem că societatea este formată doar din muncitori și antreprenori. Apoi venitul Y este împărțit în două părți - venitul lucrătorilor și venitul antreprenorilor. Întrucât la dimensiunea optimă a firmei valoarea Y/L - produsul marginal al muncii - coincide cu salariul (se poate dovedi), atunci (Y/L)L reprezintă venitul muncitorilor. În mod similar, valoarea Y/K este randamentul marginal al capitalului, al cărui sens economic este rata profitului, prin urmare, (Y/K)K reprezintă venitul antreprenorilor.

Funcția Cobb-Douglas este cea mai cunoscută dintre toate funcțiile de producție. În practică, la construirea acestuia, uneori se renunță la unele cerințe (de exemplu, suma  +  poate fi mai mare decât 1 etc.).

Exemplul 1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu a = 3%, este necesar să se mărească activele fixe cu b = 6% sau numărul de angajați cu c = 9%. În prezent, un muncitor produce produse în valoare de M = 10 4 ruble pe lună . , iar numărul total de angajați este L = 1000. Mijloacele fixe sunt evaluate la K = 10 8 ruble. Găsiți funcția de producție.

Soluţie. Să aflăm coeficienții , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, deci, Y = AK 1/2 L 1/3. Pentru a găsi A, înlocuim valorile K, L, M în această formulă, ținând cont că Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Prin urmare, A = 100. Astfel, funcția de producție are forma: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teoria firmei

În secțiunea anterioară, atunci când am analizat și modelat comportamentul producătorului, am folosit doar indicatori naturali și am făcut fără prețuri, dar nu am putut rezolva în cele din urmă problema producătorului, adică să indicam singurul curs de acțiune pentru el în prezent. conditii. Acum să luăm în considerare prețurile. Fie P un vector de preț. Dacă T = (X,Y) este o tehnologie, adică un vector de intrare-ieșire, X este costurile, Y este ieșire, atunci produsul scalar PT = PX + PY este profitul din utilizarea tehnologiei T (costurile sunt cantități negative) . Acum să formulăm o formalizare matematică a axiomei care descrie comportamentul producătorului.

Problema producătorului: producătorul selectează o tehnologie din setul său de producție, având ca scop maximizarea profiturilor . Deci, producătorul rezolvă următoarea problemă: PT→max, Tτ. Această axiomă simplifică foarte mult situația de alegere. Deci, dacă prețurile sunt pozitive, ceea ce este firesc, atunci componenta „ieșire” a soluției acestei probleme se va afla automat pe curba posibilităților de producție. Într-adevăr, să fie T = (X,Y) o soluție la problema producătorului. Atunci există ZK x , Z  Y, prin urmare, P(X, Z)  P(X, Y), ceea ce înseamnă că punctul (X, Z) este, de asemenea, o soluție la problema producătorului.

Pentru cazul a două tipuri de produse, problema poate fi rezolvată grafic (Fig. 2.3). Pentru a face acest lucru, trebuie să „mutați” o linie dreaptă perpendiculară pe vectorul P în direcția în care arată; atunci ultimul punct, când această dreaptă intersectează încă mulțimea de producție, va fi soluția (în Fig. 2.3 acesta este punctul T). După cum este ușor de văzut, convexitatea strictă a părții necesare a setului de producție în al doilea cadran garantează unicitatea soluției. Același raționament se aplică și în cazul general, pentru un număr mai mare de tipuri de intrări și ieșiri. Cu toate acestea, nu vom urma această cale, ci vom folosi aparatul de funcții de producție și vom numi producătorul o firmă. Deci, producția firmei poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un produs, fie valoarea totală a întregii producții. Spațiul de cost este m-dimensional, vectorul de cost X = (x 1, ..., x m). Costurile determină în mod unic producția Y, iar această relație este funcția de producție Y = f(X).

Orez. 2.3. Rezolvarea problemei producatorului

În această situație, notăm cu P vectorul prețurilor pentru mărfuri-costuri și fie v prețul unei unități de mărfuri fabricate. Prin urmare, profitul W, care este în cele din urmă o funcție a lui X (și a prețurilor, dar sunt considerate constante), este W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Echivalarea derivatelor parțiale ale funcției W la zero, obținem:

v(f/x j) = p j pentru j = 1, …, m sau v(f/X) = P (2.1)

Vom presupune că toate costurile sunt strict pozitive (zero pot fi pur și simplu excluse din considerare). Atunci punctul dat de relația (2.1) se dovedește a fi intern, adică un punct extremum. Și din moment ce matricea hessiană a funcției de producție f(X) este de asemenea considerată a fi definită negativ (pe baza cerințelor pentru funcțiile de producție), acesta este punctul maxim.

Deci, în ipotezele naturale privind funcțiile de producție (aceste ipoteze sunt îndeplinite pentru un producător cu bun simț și într-o economie rezonabilă), relația (2.1) oferă o soluție la problema firmei, adică determină volumul X * al resurselor prelucrate, rezultând ieșirea Y * = f(X *) Punctul X *, sau (X *,f(X *)) se va numi soluția optimă a companiei. Să ne oprim asupra semnificației economice a relației (2.1). După cum sa menționat, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se numește vector de produs marginal sau vector de produse marginale, iar f/x i se numește i-a produs marginal, sau eliberați răspunsul la schimbare i - al-lea articol costă. Prin urmare, vf/x i dx i este Preț i -al-lea produs marginal obtinut suplimentar din dx i unitati i resursa. Cu toate acestea, costul unităților dx i ale i-a resursă este egal cu р i dx i , adică s-a obținut un echilibru: este posibil să se implice dx i unități suplimentare ale i-a resursă în producție, cheltuind р i dx i la achiziționarea acestuia, dar nu va exista niciun câștig, t Pentru că după procesarea produselor, vom primi exact aceeași sumă pe care am cheltuit-o. În consecință, punctul optim dat de relația (2.1) este un punct de echilibru - nu mai este posibil să stoarceți mai mult din bunuri-resurse decât a fost cheltuit pentru achiziționarea acestora.

Evident, creșterea producției firmei s-a produs treptat: la început, costul produselor marginale a fost mai mic decât prețul de achiziție al mărfurilor și resurselor necesare producerii acestora. Volumele de producție cresc până când relația (2.1) începe să fie îndeplinită: egalitatea valorii produselor marginale si a pretului de achizitie al bunurilor si resurselor necesare producerii lor.

Să presupunem că în problema firmei W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, soluția X * este unică pentru v > 0 și P > 0. Astfel, obținem funcția vectorială X * = X * ( v, P) sau funcțiile x * I = x * i (v, p 1 , p m) pentru i = 1, …, m. Aceste m funcții sunt numite funcţiile cererii de resurse la preţuri date pentru produse şi resurse. În esență, aceste funcții înseamnă că, dacă au fost stabilite prețurile P pentru resurse și prețul v pentru bunurile produse, un producător dat (caracterizat printr-o funcție de producție dată) determină volumul resurselor prelucrate folosind funcțiile x * I = x * i (v, p 1, p m) și solicită aceste volume pe piață. Cunoscând volumele de resurse prelucrate și substituind acestora în funcția de producție, obținem producție în funcție de prețuri; să notăm această funcție cu q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Se numeste funcția de furnizare a produsuluiîn funcţie de preţul v pentru produse şi preţurile P pentru resurse.

A-priorie, resursă de tip i-a numit de mică valoare, dacă și numai dacă,x * i /v adică, atunci când prețul unui produs crește, cererea pentru o resursă de valoare mică scade. Se poate demonstra o relație importantă: q * /P = -X * /v sau q * /p i = -x * i /v, pentru i = 1, …, m. În consecință, o creștere a prețului unui produs duce la o creștere (scădere) a cererii pentru un anumit tip de resursă dacă și numai dacă o creștere a plății pentru această resursă duce la o reducere (creștere) a producției optime. Aceasta arată principala proprietate a resurselor de valoare mică: o creștere a plății pentru ei duce la o creștere a producției! Cu toate acestea, este posibil să se dovedească cu strictețe existența unor astfel de resurse, o creștere a plății pentru care duce la o scădere a producției (adică, toate resursele nu pot fi de valoare scăzută).

De asemenea, se poate demonstra că x * i /p i sunt complementare dacă x * i /p j sunt interschimbabile dacă x * i /p j > 0. Adică, pentru resursele complementare, o creștere a prețului unul dintre ele duce la o scădere a cererii pentru altul, iar pentru resursele interschimbabile, o creștere a prețului unuia dintre ele duce la o creștere a cererii pentru celălalt. Exemple de resurse complementare: un computer și componentele sale, mobilier și lemn, șampon și balsam pentru acesta. Exemple de resurse fungibile: zahăr și înlocuitori de zahăr (de exemplu, sorbitol), pepeni și pepeni, maioneză și smântână, unt și margarină etc.

Exemplul 2. Pentru o companie cu o funcție de producție Y = 100K 1/2 L 1/3 (din exemplul 1), găsiți dimensiunea optimă dacă perioada de amortizare a mijloacelor fixe este N = 12 luni, salariul angajatului pe lună este a = 1000 ruble .

Soluţie. Mărimea optimă a producției sau a volumului de producție se găsește din relația (2.1). În acest caz, producția este măsurată în termeni monetari, deci v = 1. Costul de întreținere lunar a unei ruble de fonduri este 1/N, adică obținem un sistem de ecuații

, rezolvand care gasim raspunsul:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Sarcini

1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea activelor fixe cu b = 4% sau a numărului de angajați cu c = 3%. În prezent, un muncitor produce produse în valoare de M = 10 5 ruble pe lună . , iar numărul total de muncitori este L = 10 4 . Activele fixe sunt evaluate la K = 10 6 ruble. Aflați funcția de producție, productivitatea medie a capitalului, productivitatea medie a muncii, raportul capital-muncă.

2. Un grup de „navete” în valoare de E a decis să se unească cu N vânzători. Profitul dintr-o zi de muncă (venituri minus cheltuieli, dar nu salarii) este exprimat prin formula Y = 600(EN) 1/3. Salariul lucrătorului navetei este de 120 de ruble. pe zi, vânzător - 80 de ruble. într-o zi. Găsiți compoziția optimă a grupului de „navete” și vânzători, adică câte „navete” ar trebui să existe și câți vânzători.

3. Un om de afaceri a hotărât să înființeze o mică companie de camioane. Familiarizându-se cu statisticile, a văzut că dependența aproximativă a veniturilor zilnice de numărul de mașini A și numărul N este exprimată prin formula Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizarea și alte cheltuieli zilnice pentru o mașină sunt de 400 de ruble, salariul zilnic al unui muncitor este de 100 de ruble. Găsiți numărul optim de muncitori și vehicule.

4. Omul de afaceri a decis să deschidă un bar de bere. Să presupunem că dependența veniturilor Y (minus costul berii și gustărilor) de numărul de mese M și de numărul de ospătari F este exprimată prin formula Y = 200M 2/3 F 1/4. Costul pentru o masă este de 50 de ruble, salariul chelnerului este de 100 de ruble. Găsiți dimensiunea optimă a barului, adică numărul de chelneri și mese.

Să considerăm o economie cu l bunuri. Pentru o anumită firmă, este firesc să se considere unele dintre aceste bunuri ca factori de producție, iar altele ca produse de producție. Trebuie remarcat faptul că această diviziune este destul de arbitrară, deoarece compania are suficientă libertate în alegerea gamei de produse produse și a structurii costurilor. Când descriem tehnologia, vom face distincția între producție și costuri, reprezentând acestea din urmă ca producție cu semnul minus. Pentru comoditatea prezentării tehnologiei, produsele care nu sunt nici consumate, nici produse de companie vor fi clasificate ca producție, iar volumul de producție al acestor produse va fi considerat egal cu 0. În principiu, o situație în care un produs produs de nu poate fi exclusă o întreprindere consumată și de aceasta în procesul de producție. În acest caz, vom lua în considerare numai producția netă a acestui produs, adică producția sa minus costurile.

Fie numărul de factori de producție egal cu n, iar numărul de tipuri de producție egal cu m, astfel încât l = m + n. Să notăm vectorul costurilor (în valoare absolută) cu r Rn + , iar volumul producției cu y Rm + . Vom numi vectorul (−r, yo ) vector al problemelor nete. Mulțimea tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete y = (−r, yo ) este set tehnologic Y. Astfel, în cazul în cauză, orice mulțime tehnologică este o submulțime a lui Rn − × Rm +.

Această descriere a producției este de natură generală. În același timp, este posibil să nu respectați o divizare strictă a mărfurilor în produse și factori de producție: același bun poate fi cheltuit cu o tehnologie și produs cu alta. În acest caz, Y Rl.

Să descriem proprietățile seturilor tehnologice, în termenii cărora sunt descrise de obicei clase specifice de tehnologii.

1. Neviditatea

Mulțimea tehnologică Y este nevidă.

Această proprietate înseamnă posibilitatea fundamentală de a desfășura activități de producție.

2. Închidere

Setul tehnologic Y este închis.

Această proprietate este mai degrabă tehnică; înseamnă că mulțimea tehnologică conține limita sa, iar limita oricărei secvențe de vectori de ieșire netă fezabilă din punct de vedere tehnologic este, de asemenea, un vector de ieșire netă fezabilă din punct de vedere tehnologic.

3. Libertatea de a cheltui:

dacă y Y și y0 6 y, atunci y0 Y.

Această proprietate poate fi interpretată ca abilitatea de a produce aceeași cantitate de producție, dar la costuri mai mari, sau mai puțină producție la aceleași costuri.

4. Fără „cornucopia” („fără prânz gratuit”)

dacă y Y și y > 0, atunci y = 0.

Această proprietate înseamnă că pentru a produce un produs într-o cantitate pozitivă, sunt necesare costuri într-un volum diferit de zero.

Orez. 4.1. Varietate tehnologică cu randamente crescânde la scară.

5. Randamente la scară necrescătoare:

dacă y Y și y0 = λy, unde 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Această proprietate este uneori numită (nu în totalitate exact) randamente descrescătoare la scară. În cazul a două bunuri, în care unul este cheltuit și celălalt este produs, randamentele descrescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximum posibilă) a input-ului nu crește. Dacă într-o oră poți rezolva, în cel mai bun caz, 5 probleme similare în microeconomie, atunci în două ore, în condiții de rentabilitate descrescătoare, nu ai putea rezolva mai mult de 10 astfel de probleme.

50 . Randamente la scară nedescrescătoare:

dacă y Y și y0 = λy, unde λ > 1, atunci y0 Y.

În cazul a două bunuri, în care unul este cheltuit și celălalt este produs, randamentele crescătoare înseamnă că productivitatea medie (maximum posibilă) a input-ului nu scade.

500. Revenirile constante la scară este o situație în care setul tehnologic satisface condițiile 5 și 50 simultan, adică.

dacă y Y și y0 = λy0 , atunci y0 Y λ > 0.

Din punct de vedere geometric, revenirile constante la scară înseamnă că Y este un con (posibil să nu conțină 0).

În cazul a două bunuri, în care unul este input și celălalt este produs, producția constantă înseamnă că productivitatea medie a inputului nu se modifică pe măsură ce ieșirea se modifică.

Orez. 4.2. Tehnologia convexă stabilită cu randamente descrescătoare la scară

Proprietatea de convexitate înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii în orice proporție.

7. Ireversibilitate

dacă y Y și y 6= 0, atunci (−y) / Y.

Să presupunem că puteți produce 5 rulmenți dintr-un kilogram de oțel. Ireversibilitatea înseamnă că este imposibil să se producă un kilogram de oțel din 5 rulmenți.

8. Aditivitate.

dacă y Y și y0 Y , atunci y + y0 Y.

Proprietatea aditivității înseamnă capacitatea de a combina tehnologii.

9. Acceptabilitatea inactivității:

Teorema 44:

1) Din randamentele necrescătoare la scară și aditivitatea ansamblului tehnologic urmează convexitatea acestuia.

2) Randamentele la scară necrescătoare rezultă din convexitatea setului tehnologic și din permisiunea inactivității. (Reversul nu este întotdeauna adevărat: cu randamente necrescătoare, tehnologia poate fi neconvexă, vezi Fig. 4.3 .)

3) Setul tehnologic are proprietăți de aditivitate și de necreștere

revine la scară dacă și numai dacă este un con convex.

Orez. 4.3. Un set tehnologic neconvex cu randamente la scară necrescătoare.

Nu toate tehnologiile eligibile sunt la fel de importante din punct de vedere economic. Dintre cele admisibile se remarcă unele speciale tehnologii eficiente. O tehnologie admisibilă y este de obicei numită eficientă dacă nu există altă tehnologie admisibilă (diferită de ea) y0 astfel încât y0 > y. Evident, această definiție a eficienței implică implicit că toate bunurile sunt într-un fel de dorit. Tehnologiile eficiente constituie frontieră eficientă set tehnologic. În anumite condiții, devine posibilă utilizarea frontierei efective în analiză în locul întregului set tehnologic. În acest caz, este important ca pentru orice tehnologie admisibilă y să existe o tehnologie eficientă y0 astfel încât y0 > y. Pentru ca această condiție să fie îndeplinită, se cere ca ansamblul tehnologic să fie închis, iar în cadrul ansamblului tehnologic să fie imposibilă creșterea producției unui bun la nesfârșit fără a reduce producția altor bunuri. Se poate demonstra că dacă este tehnologic

Orez. 4.4. Tehnologia eficientă a stabilit limite

multimea are proprietatea libertatii de cheltuieli, atunci granita efectiva defineste in mod unic multimea tehnologica corespunzatoare.

Cursurile introductive și intermediare, atunci când descriu comportamentul unui producător, se bazează pe reprezentarea ansamblului său de producție printr-o funcție de producție. O întrebare relevantă este în ce condiții pe setul de producție este posibilă o astfel de reprezentare. Deși este posibil să oferim o definiție mai largă a funcției de producție, în continuare vom vorbi doar despre tehnologiile „un singur produs”, adică m = 1.

Fie R proiecția mulțimii tehnologice Y pe spațiul vectorilor de cost, i.e.

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definiția 37:

Se apelează funcția f(·) : R 7→R funcția de producție, reprezentând tehnologia Y, dacă pentru fiecare r R valoarea f(r) este valoarea următoarei probleme:

yo → max

(−r, yo) Y.

Rețineți că orice punct de pe granița efectivă a mulțimii tehnologice are forma (−r, f(r)). Reversul este adevărat dacă f(r) este o funcție crescătoare. În acest caz, yo = f(r) este ecuația de frontieră efectivă.

Următoarea teoremă oferă condițiile în care o mulțime tehnologică poate fi reprezentată??? funcția de producție.

Teorema 45:

Fie pentru o mulțime tehnologică Y R × (−R) pentru orice r R mulțimea

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

închis și mărginit de sus. Atunci Y poate fi reprezentat printr-o funcție de producție.

Notă: Îndeplinirea condițiilor din această declarație poate fi garantată, de exemplu, dacă mulțimea Y ​​este închisă și are proprietățile randamentelor la scară necrescătoare și absența unei cornucopii.

Teorema 46:

Fie mulțimea Y ​​să fie închisă și să aibă proprietățile randamentelor la scară necrescătoare și absența unei cornucopii. Atunci pentru orice r R multimea

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

închis și mărginit de sus.

Dovada: Închiderea mulțimilor F (r) rezultă direct din închiderea lui Y. Să arătăm că F (r) sunt mărginite de sus. Să nu fie așa și pentru unii r R există

există o succesiune infinit crescătoare (yn) astfel încât yn F (r). Apoi, datorită randamentelor necrescătoare la scară (−r/yn , 1) Y . Prin urmare (din cauza închiderii), (0, 1) Y , care contrazice absența unei cornucopii.

De asemenea, rețineți că, dacă mulțimea tehnologică Y satisface ipoteza de cheltuieli libere și există o funcție de producție f(·) care o reprezintă, atunci mulțimea Y ​​este descrisă prin următoarea relație:

Y = ( (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Să stabilim acum câteva relații între proprietățile ansamblului tehnologic și funcția de producție care îl reprezintă.

Teorema 47:

Fie mulțimea tehnologică Y astfel încât pentru tot r R este definită funcția de producție f(·). Atunci următoarele sunt adevărate.

1) Dacă mulțimea Y ​​este convexă, atunci funcția f(·) este concavă.

2) Dacă mulțimea Y ​​satisface ipoteza de cheltuială liberă, atunci este și inversul adevărat, adică dacă funcția f(·) este concavă, atunci mulțimea Y ​​este convexă.

3) Dacă Y este convex, atunci f(·) este continuă în interiorul mulțimii R.

4) Dacă mulţimea Y ​​are proprietatea libertăţii de a cheltui, atunci funcţia f(·) nu scade.

5) Dacă Y are proprietatea de a lipsi cornul abundenței, atunci f(0) 6 0.

6) Dacă mulțimea Y ​​are proprietatea de inactivitate admisibilă, atunci f(0) > 0.

Demonstrație: (1) Fie r0 , r00 R. Atunci (−r0 , f(r0 )) Y și (−r00 , f(r00 )) Y , și

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

deoarece mulţimea Y ​​este convexă. Apoi, prin definiția funcției de producție

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

ceea ce înseamnă că f(·) este concav.

(2) Întrucât mulțimea Y ​​are proprietatea de a cheltui liber, mulțimea Y ​​(până la semnul vectorului cost) coincide cu subgraful său. Și subgraful unei funcții concave este o mulțime convexă.

(3) Faptul de demonstrat rezultă din faptul că o funcție concavă este continuă în interior.

mărimea domeniului său de definire.

(4) Fie r 00 > r0 (r0 , r00 R). Deoarece (−r0 , f(r0 )) Y , atunci prin proprietatea libertăţii de a cheltui (−r00 , f(r0 )) Y . Prin urmare, prin definiția funcției de producție, f(r00) > f(r0), adică f(·) nu scade.

(5) Inegalitatea f(0) > 0 contrazice ipoteza absenței unei cornucopii. Deci f(0) 6 0.

(6) Prin ipoteza admisibilității inactivității (0, 0) Y . Deci, prin definiție

Presupunând existența unei funcții de producție, proprietățile unei tehnologii pot fi descrise direct în termenii acestei funcții. Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul așa-numitei elasticități a scării.

Fie funcția de producție diferențiabilă. În punctul r, unde f(r) > 0, definim

elasticitatea locală a scalei e(r) ca:

Dacă la un moment dat e(r) este egal cu 1, atunci se consideră că în acest moment reveniri constante la scară, dacă mai mult de 1 atunci randamente crescânde, Mai puțin - randamente descrescătoare la scară. Definiția de mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

Teorema 48:

Fie mulţimea tehnologică Y descrisă de funcţia de producţie f(·) şi

V la punctul r avem e(r) > 0. Atunci este adevărat:

1) Dacă mulțimea tehnologică Y are proprietatea randamentelor descrescătoare la scară, atunci e(r) 6 1.

2) Dacă mulțimea tehnologică Y are proprietatea de a crește randamentele la scară, atunci e(r) > 1.

3) Dacă Y are proprietatea retururilor constante la scară, atunci e(r) = 1.

Dovada: (1) Se consideră șirul (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λn f(r). Să rescriem această inegalitate ca:

Mulțimile tehnologice Y pot fi specificate în formular funcţii implicite de producţie g(·). Prin definiție, o funcție g(·) se numește funcție implicită de producție dacă tehnologia y aparține mulțimii tehnologice Y dacă și numai dacă g(y) >

Rețineți că o astfel de funcție poate fi întotdeauna găsită. De exemplu, o funcție adecvată este astfel încât g(y) = 1 pentru y Y și g(y) = −1 pentru y / Y . Rețineți, totuși, că această funcție nu este diferențiabilă. În general, nu orice set tehnologic poate fi descris printr-o singură funcție implicită de producție diferențiabilă, iar astfel de seturi tehnologice nu sunt ceva excepțional. În special, seturile tehnologice luate în considerare în cursurile inițiale de microeconomie sunt adesea astfel încât descrierea lor necesită două (sau mai multe) inegalități cu funcții diferențiabile, deoarece este necesar să se țină seama de restricții suplimentare privind non-negativitatea factorilor de producție. Pentru a ține seama de astfel de restricții, se poate folosi vector implicit

izocuante și izocline PF

Dacă ne întoarcem din nou la metoda analogiei, atunci, ca și în cazul modelului comportamentului consumatorului, în teoria modelării proceselor de producție putem evidenția conceptul de curbă de indiferență a unui producător. Acest concept poate corespunde mai multor seturi de factori de producție, care corespund aceleiași cantități de produs produs, adică:

Se numește mulțimea de puncte care satisfac egalitatea (4.1). izocuanta PF ( izo- constant, cantitate- cantitate). Fiecare izocuanta corespunde unui nivel diferit de productie a produsului ( y ), iar izocuantele mai îndepărtate de punctul zero (punctele de inacțiune) corespund unor valori mai mari y . Izocuanțele au, de asemenea, aceleași proprietăți ca și curbele de indiferență (sunt paralele între ele, nu se intersectează cu axele absciselor și ordonatelor etc.) Pentru un PF cu doi factori, o izocuantă va exprima în esență dependența funcțională a costurilor de capital față de muncă. costuri la un anumit nivel de produs produs:

Producătorul, cu tehnologii diferite, poate alege diferite combinații de factori de producție și poate menține un nivel constant de producție. Conform izocuantei, o creștere a unui factor va duce la o scădere a altuia. Prin urmare, trebuie să existe o caracteristică care să permită evaluarea compensării unui factor de către altul. Această caracteristică este rata marginală de substituție(similar cu aceeași caracteristică în teoria utilității consumatorului):

, (4.2)

care arată cât de mult o creștere a factorului j va compensa reducerea factorului i pe unitate, astfel încât nivelul de producție al produsului să rămână același (înlocuirea factorilor i factor j ).

În consecință, înlocuirea inversă (a factorului j cu factorul i) va fi caracterizată prin valoarea reciprocă: .

Conform relației dintre coeficientul de elasticitate și produsul marginal (4.1), rata marginală de substituție poate fi exprimată astfel:

(4.3)

Conform (4.1) pentru un PF cu doi factori avem:

- rata maximă de înlocuire a capitalului cu muncă;

- rata maximă de înlocuire a muncii cu capital.

Conform (4.3), pentru un model cu doi factori, rata marginală de substituție poate fi exprimată și prin coeficienți de elasticitate:

, Unde La – raportul capital-muncă.

Alături de izocuante, un rol important în PF îl joacă izoclinele – seturi de puncte din zona economică pentru care rata marginală de substituție i - al-lea factor j -m este constantă:

Folosind conceptul de izoclin (izoclin), puteți transforma un set arbitrar de factori (L,K) incluse in set (D, doamnă) , adică rezolvarea sistemului de ecuații:

va fi:

PF omogen cu o rată marginală constantă de substituție a muncii cu capital și grad de omogenitate δ=1 aparține clasei de funcții liniare, adică .

Astfel, pentru un PF cu doi factori, fiecare punct al izocuantei este caracterizat de costurile capitalului și ale muncii sau de rata marginală de substituție a muncii cu capital. DOAMNA LK și raportul capital-muncă k . Dacă ne întoarcem la reprezentarea geometrică, atunci DOAMNA LK este egal cu coeficientul unghiular al tangentei la un punct izocuant dat, iar valoarea lui k este coeficientul unghiular al razei care iese de la origine și trece printr-un punct izocuant dat (vezi. Orez. 4.2).

Fig 4.2

De exemplu, la punct ÎN valoarea costurilor cu forța de muncă este mai mare decât la punct A , prin urmare, valoarea DOAMNA LK la punct ÎN mai puțin decât la un moment dat A . În consecință, punctul ÎN va corespunde unui raport capital-muncă mai mic decât la momentul respectiv A .

Astfel, legătura dintre modificarea raportului capital-muncă și rata marginală de substituție a muncii cu capitalul devine evidentă, adică ajungem din nou la conceptul de elasticitate, și anume elasticitatea substituirii muncii cu capitalul, care arată cât de procent se va schimba raportul capital-muncă atunci când rata marginală de substituire a forței de muncă cu capital se modifică cu un procent:

(4.4)

De asemenea, se poate arăta grafic că pe măsură ce curbura izocuantei crește, elasticitatea Eσ scade (vezi Orez. 4.3).

Fig 4.3

Rețineți că în ambele cazuri la puncte A Și ÎN valorile DOAMNA LK rămân aceleași, iar valoarea raportului capital-muncă la momentul respectiv A mai mare decât la punct ÎN . Aceasta implică o altă proprietate importantă: pentru un PF omogen, elasticitatea substituirii muncii cu capitalul depinde doar de raportul capital-muncă și rămâne constantă de-a lungul razelor care emană din punctul zero.

Să exprimăm legătura dintre DOAMNA LK Și k cu elasticitate constantă Eσ . Conform (4.4) avem:

(4.5)

Presupunând dependență DOAMNA LK(k) , putem scrie (4.5) sub forma unei ecuații diferențiale obișnuite:

(4.6)

Integrarea (4.6) dă:

sau după conversie:

, Unde

În consecință, condiția de constanță a elasticității substituției muncii cu capital dă o relație putere-lege între cantități. DOAMNA LK Și k . În consecință, cazul elasticității unitare va corespunde unei relații liniare între mărimile indicate:

Introducerea conceptului de elasticitate constantă a substituției a condus la forma generală a unui PF omogen, pentru care elasticitatea substituției factorilor este constantă. Astfel de PF se numesc PF clasa CES (Elasticitatea constantă a substituției). Funcțiile acestei clase au fost propuse mai întâi Arrow de Kenneth Și Solow de Robert în 1961. Funcțiile acestei clase presupun că înlocuirea muncii cu capital este posibilă numai în anumite limite și nu există tehnologii care să permită producerea unei cantități date de produs la costuri ale factorilor de producție sub anumite valori critice. (Geometric, aceasta înseamnă că este posibil să se construiască asimptote la izocuanta, iar acestea vor corespunde valorilor minime posibile ale muncii și capitalului. Este posibil să se obțină relații matematice pentru asimptote; nu vom prezenta acest material în această prezentare.)

Multe PF sunt în esență cazuri speciale sau limitative ale funcțiilor CES, ale căror principale caracteristici sunt date în Tabelul 4.1.

Tabelul 4.1

Conceptul de sistem de producție și proces de producție. Proces tehnologic și set tehnologic

Sarcina principală a oricărui proces de producție este de a crea valoare adăugată și un nou produs economic, care apoi participă la procesele ulterioare de schimb și consum. Se știe că procesul de producție este o condiție pentru apariția proceselor de consum, pe de o parte, iar pe de altă parte, încetarea consumului duce la încetarea procesului de producție. In consecinta, dezvoltarea proceselor de productie este determinata de comportamentul economic al consumatorului. Această relație poate fi reprezentată sub forma următorului model conceptual de funcționare a unei entități economice:

Veriga centrală este modelul procesului de producție, care leagă variabilele de intrare ale sistemului de producție cu variabilele de ieșire; modelul pieței resurselor este o condiție necesară pentru funcționarea procesului de producție; modelul pieței mărfurilor este o condiție necesară pentru existența și reluarea procesului de producție; model decizional - alegerea celei mai bune, într-un anumit sens, decizie a unui producător de mărfuri cu privire la volumele de producție pe baza informațiilor despre condițiile pieței și capacitățile de producție.

Ideile moderne în domeniul modelării proceselor de producție se bazează pe teorii economiști -neoclasic , care a propus un model al persoanei „economice”, al cărei comportament economic este determinat de funcția de utilitate.

Prin urmare, proces de fabricație este procesul de creare a valorii adăugate prin transformarea intenționată a unui set de bunuri în altul. Se numeste sistemul economic in care se organizeaza si se desfasoara procesul de productie sistem de producere sau producție. Scopul oricărui sistem de producție este starea viitoare finală dorită sau rezultatul activității economice. Din punctul de vedere al teoriei economice neoclasice, obiectivele producătorului sunt de a maximiza veniturile sau profitul, sau de a minimiza costurile. Se numesc bunurile consumate in timpul procesului de productie factori de producţie, bunuri primite ca urmare a procesului de productie – produse de productie.

Din acest punct de vedere, orice sistem de producție cu o structură internă complexă este o „cutie neagră”, în timp ce informațiile despre factorii de producție (informații de intrare) și produsul de producție (rezultatul) sunt cunoscute, iar structura internă necunoscută este descrisă folosind unele producții. funcţie. Trebuie amintit că modelul „cutie neagră” este util pentru un economist, dar este inutil pentru un manager care reformează structura organizațională și procesele din cadrul sistemului.

Pe lângă conceptul de funcții de producție, concepte precum conceptul de elasticitate a factorilor de producție și rata marginală de substituție a factorilor de producție sunt importante pentru modelarea proceselor de producție, deoarece resursele din sistemul de producție pot acționa ca bunuri de înlocuire. În plus, într-un proces real de producție este imposibil să se producă un produs în absența completă a oricărui factor de producție, adică se poate vorbi despre complementaritatea factorilor de producție, adică despre lor. complementaritatea.

Tehnologie- este o modalitate tehnică de transformare a factorilor de producție în produse. Există un număr mare de tehnologii disponibile, dintre care producătorii aleg cele mai eficiente. Tehnologia definește relația dintre un element u dintre factorii de producţie şi element v din zona de produs. Proces tehnologic este un ansamblu de relații între elemente tu i Și v j (), prin urmare este cel mai simplu model al procesului de producție. La rândul său, se formează ansamblul proceselor tehnologice set tehnologic . Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:

1. imposibilitatea existenței unei „cornucopia”, adică un proces tehnologic zero (fără costurile factorilor de producție) aparține ansamblului tehnologic și înseamnă inacțiune;

2. mulţimea tehnologică este convexă, adică procesele tehnologice pot fi combinate (unele procese tehnologice pot fi o combinaţie convexă a altora);

3. ansamblul tehnologic este limitat de sus, care este asociat cu resursele (factorii de producție) limitate (epuizabile);

4. setul tehnologic este închis, adică are limite.

Efectiv procesele tehnologice sunt descrise prin puncte situate pe granița efectivă a unui set tehnologic convex.

Metoda seturilor tehnologice face posibilă descrierea producției cu mai multe articole, deoarece o tranziție strictă de la seturile tehnologice la funcțiile de producție este posibilă prin agregarea factorilor de producție și a produselor.

În concluzie, observăm că există două abordări alternative pentru rezolvarea problemei controlului optim al proceselor de producție. Prima abordare are în vedere problema maximizării producției unui produs sub constrângeri bugetare fixe. Rezolvarea acestei probleme se bazează pe analiza funcției de producție a sistemului de producție, luând în considerare valoarea de piață a forței de muncă și a capitalului și mărimea bugetului de producție. A doua abordare rezolvă problema minimizării costurilor de producție la un anumit nivel de producție a produsului. Această problemă este rezolvată folosind o funcție de cost care poate fi calculată dintr-o funcție de producție existentă. Aceste două abordări conduc la același rezultat la rezolvarea problemelor de optimizare. ( Amintiți-vă de dualitate!).

Un set de formalizare al tuturor vectorilor fezabil din punct de vedere tehnologic ai rezultatelor nete.

Definiție

Lasă economia să aibă $N$ bun În procesul de producere a acestora $n$ beneficiile sunt cheltuite. Să notăm vectorul acestor beneficii (costuri) $X$(dimensiunea vectorială $n$). Alte $m=N-n$ mărfurile sunt eliberate în procesul de producție (dimensiunea vectorului este $m$). Să notăm vectorul acestor beneficii $y$. Apoi vectorul $z=(-x,y)$(dimensiunea - $N$) se numește vector probleme nete. Totalitatea tuturor vectorilor realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieșirilor nete este set tehnologic. De fapt, acesta este un subset al spațiului $R^N$.

Pentru cititorii care au dificultăți cu conceptele vectoriale, există multe:

vector - o listă de bunuri, fiecare bun este descris prin cantitatea sa, un set de numere;

toate bunurile consumate în producție se înregistrează la începutul vectorului de ieșire netă z cu semnul minus (-x), cele produse cu semnul plus (y);

toate combinațiile posibile pentru producție formează un set tehnologic (combinații de producție).

Proprietăți

• Non-viditatea: setul tehnologic nu este gol. Non-viditatea înseamnă posibilitatea fundamentală de producție.
• Acceptabilitatea inactivității: vectorul zero aparține mulțimii tehnologice. Această proprietate formală înseamnă că ieșirea zero la intrarea zero este acceptabilă.
• Închidere: mulţimea tehnologică conţine propria sa limită, iar limita oricărei secvenţe de vectori realizabili din punct de vedere tehnologic ai ieşirilor nete aparţine, de asemenea, mulţimii tehnologice.
• Libertatea de a cheltui: dacă vectorul dat $z$ aparține mulțimii tehnologice, atunci îi aparține orice vector $z"\backslash leqslant\; z$. Aceasta înseamnă că în mod formal același volum de producție poate fi produs la costuri mai mari.
• Absența unei „cornucopia”: dintre vectorii nenegativi ai ieșirii nete, doar vectorul zero aparține mulțimii tehnologice. Aceasta înseamnă că sunt necesare costuri diferite de zero pentru a produce o cantitate pozitivă de producție.
• Ireversibilitate: pentru orice vector valid $z$, vector opus $-z$ nu aparţine ansamblului tehnologic. Adică, este imposibil să se producă resurse din produse fabricate în aceleași cantități în care sunt utilizate pentru producerea acestor produse.
• Aditivitate: Suma a doi vectori validi este de asemenea un vector valid. Adică este permisă o combinație de tehnologii.
• Proprietăți legate de randamentele la scară de producție:
  • Randamente la scară necrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; \backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Randamente la scară nedescrescătoare: pentru oricine $\backslash lambda\; >1$ dacă z aparține mulțimii tehnologice, atunci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic.
  • Reveniri constante la scară: îndeplinirea simultană a celor două proprietăți anterioare, adică pentru orice pozitiv $\backslash lambda$ Dacă $z$ aparține ansamblului tehnologic, deci $\backslash lambda\; z$ aparţine şi ansamblului tehnologic. Proprietatea returului constant înseamnă că setul tehnologic este un con.

8. Convex: pentru oricare doi vectori validi $z\_1,\; z\_2$ Orice vectori sunt, de asemenea, validi $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Unde . Proprietatea de convexitate înseamnă capacitatea de a „amesteca” tehnologii. În special, este îndeplinită dacă ansamblul tehnologic are proprietatea de aditivitate și randamente la scară necrescătoare. Mai mult, în acest caz setul tehnologic este un con convex.

Tehnologia eficientă a stabilit limite

Tehnologie acceptabilă $z$ numit efectiv, dacă nu există altă tehnologie acceptabilă diferită de aceasta $z"\backslash geqslant\; z$. Se formează multe tehnologii eficiente frontieră eficientă set tehnologic.

Dacă este îndeplinită condiția libertății de a cheltui și închiderea setului tehnologic, atunci este imposibil să creșteți la nesfârșit producția unui bun fără a reduce producția altora. În acest caz, pentru orice tehnologie acceptabilă $z$ există tehnologie eficientă $z"\; \backslash geqslant\; z$. În acest caz, în locul întregului set tehnologic, se poate folosi doar limita efectivă a acestuia. De obicei, frontiera eficientă poate fi dată de o funcție de producție.

Funcția de producție

Să luăm în considerare tehnologiile cu un singur produs $(-X\; y)$, Unde $y$- vector de dimensiune $m=1$, A $X$- vectorul costului dimensiunii $n$. Luați în considerare setul $X$, care include toți vectorii de cost posibili $X$, astfel încât pentru toată lumea $X$ există $y$, astfel încât vectorii neți de ieșire $(-X\; y)$ aparțin ansamblului tehnologic.

Funcția numerică $f(x)$ pe $X$ numit funcția de producție, dacă pentru fiecare vector de cost dat $X$ sens $f(x)$ definește valoarea maximă a ieșirii permise $y$(astfel încât vectorul net de ieșire (-x,y) aparține mulțimii tehnologice).

Orice punct al limitei efective a ansamblului tehnologic poate fi reprezentat sub formă $(-x,f(x))$, iar opusul este adevărat dacă $f(x)$ este o funcție crescătoare (în acest caz $y=f(x)$- ecuaţia limitei efective). Dacă un set tehnologic are proprietatea libertății de cheltuieli și poate fi descris de o funcție de producție, atunci setul tehnologic este determinat pe baza inegalității $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Pentru ca un set tehnologic să fie specificat folosind o funcție de producție, este suficient ca pentru oricare $X$ o multime de $F(x)$ ieșiri admisibile la costuri date $X$, a fost limitată și închisă. În special, această condiție este îndeplinită dacă setul tehnologic are proprietăți de închidere, randamente la scară necrescătoare și absența unei cornucopii.

Dacă setul tehnologic este convex, atunci funcția de producție este concavă și continuă pe interiorul setului $X$. Dacă este îndeplinită condiția libertății de cheltuieli, atunci $f(x)$ este o funcție nedescrescătoare (în acest caz, concavitatea funcției implică și convexitatea mulțimii tehnologice). În sfârșit, dacă atât condiția absenței unei cornuri de abundență, cât și admisibilitatea inactivității sunt îndeplinite simultan, atunci $f(0)=0$.

Dacă funcția de producție este diferențiabilă, atunci este posibil să se definească un local elasticitatea scariiîn următoarele moduri echivalente:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x)\; )x)(f(x))$

Unde $f"(x)$ este vectorul gradient al funcției de producție.

După ce am determinat astfel elasticitatea scării, se poate demonstra că dacă o mulțime tehnologică are proprietatea randamentelor constante la scară, atunci $e(x)=1$, dacă există randamente descrescătoare la scară, atunci $e(x)\backslash leqslant\; 1$, dacă randamente crescătoare, atunci $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Provocarea producătorului

Dacă este dat vectorul preț $p$, apoi produsul $pz$ reprezintă profitul producătorului. Sarcina producătorului se rezumă la găsirea unui astfel de vector $z$, astfel încât pentru un vector de preț dat profitul să fie maxim. Notăm ansamblul prețurilor mărfurilor la care această problemă are o soluție $P$. Se poate demonstra că pentru un set tehnologic nevid, închis, cu randamente la scară necrescătoare, problema producătorului are o soluție pe setul de prețuri $P$, dând profit negativ pe așa-numitul recesiv direcții (aceștia sunt vectori $z$ set tehnologic, pentru care, pentru orice nenegativ $\backslash lambda$ vectori $\backslash lambda\; z$ aparțin și ansamblului tehnologic). În special, dacă setul de direcții recesive coincide cu $R^N\_-$, atunci există o soluție pentru orice preț pozitiv.

Funcția de profit $\backslash pi(p)$ definit ca $pz(p)$, Unde $z(p)$- rezolvarea problemei producătorului la prețuri date (aceasta este așa-numita funcție de aprovizionare, eventual multivalorică). Funcția de profit este omogenă pozitiv (de gradul I), adică $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ si continuu pe interior $P$. Dacă setul tehnologic este strict convex, atunci și funcția de profit este diferențiabilă continuu. Dacă setul tehnologic este închis, atunci funcția de profit este convexă pe orice subset convex de prețuri acceptabile $P$.

Funcția de propoziție (afișare) $z(p)$ este pozitiv omogen de gradul zero. Dacă mulțimea tehnologică este strict convexă, atunci funcția de aprovizionare este cu o singură valoare pe P și continuă pe interior $P$. Dacă o funcție de ofertă este de două ori diferențiabilă, atunci matricea jacobiană a acestei funcții este simetrică și definită nenegativă.

Dacă ansamblul tehnologic este reprezentat de o funcție de producție, atunci profitul este definit ca $pf(x)-wx$, Unde $w$- vector de prețuri pentru factorii de producție, $p$în acest caz, prețul produselor fabricate. Apoi pentru orice soluție internă (adică aparținând interiorului $X$) problema producătorului este corectă: egalitatea produsului marginal al fiecărui factor cu prețul său relativ, adică sub formă vectorială $f"(x)=w/p$.

Dacă este dată funcţia de profit $\backslash pi(p)$, care este o funcție de două ori continuu diferențiabilă, convexă și omogenă pozitiv (gradul întâi), atunci este posibil să se restabilească mulțimea tehnologică ca o mulțime care conține pentru orice vector de preț nenegativ $p$ vectori cu eliberare curată $z$, satisfacerea inegalitatii $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. De asemenea, se poate demonstra că dacă funcția de ofertă este omogenă pozitiv de gradul zero și matricea primelor sale derivate este continuă, simetrică și nenegativă definită, atunci funcția de profit corespunzătoare satisface cerințele de mai sus (este și invers).

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Set tehnologic”

Literatură

Extras care caracterizează ansamblul Tehnologic

Deodată prințul Hippolyte s-a ridicat și, oprindu-i pe toți cu semne de mână și rugându-i să se așeze, a vorbit:
- Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Astăzi mi s-a spus o glumă fermecătoare la Moscova; trebuie să-i înveți. Scuze, viconte, o voi spune în rusă, altfel se va pierde tot rostul glumei.]
Și prințul Hippolyte a început să vorbească rusă cu accentul pe care îl vorbesc francezii când sunt în Rusia de un an. Toată lumea făcu o pauză: prințul Hippolyte a cerut atât de însuflețit și urgent să acorde atenție poveștii sale.
– Există o doamnă la Moscova, une dame. Și e foarte zgârcită. Trebuia să aibă doi valeți de pied pentru trăsură. Și foarte înalt. A fost pe placul ei. Și avea une femme de chambre [servitoare], încă foarte înaltă. Ea a spus…
Aici prințul Hippolyte a început să gândească, aparent având dificultăți în a gândi corect.
„Ea a spus... da, a spus: „fată (a la femme de chambre), îmbrăcă-te cu livrea [livrea] și vino cu mine, în spatele trăsurii, faire des visites.” [fă vizite.]
Aici prințul Hippolyte a pufnit și a râs mult mai devreme decât ascultătorii săi, ceea ce a făcut o impresie nefavorabilă naratorului. Cu toate acestea, mulți, inclusiv doamna în vârstă și Anna Pavlovna, au zâmbit.
- Ea a mers. Deodată a fost un vânt puternic. Fata și-a pierdut pălăria și părul lung a fost pieptănat...
Aici nu se mai putea ține și a început să râdă brusc și prin acest râs a spus:
- Și toată lumea știa...
Acesta este sfârșitul glumei. Deși nu era clar de ce o spunea și de ce trebuia spusă în rusă, Anna Pavlovna și alții au apreciat amabilitatea socială a prințului Hippolyte, care a încheiat atât de plăcut farsa neplăcută și neplăcută a domnului Pierre. Conversația de după anecdotă s-a dezintegrat în discuții mici, nesemnificative despre viitor și balul trecut, performanță, despre când și unde s-ar vedea.