Inegalitățile sunt relații de forma a › b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹, › și nestrictive - ≥, ≤.

Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, în care F(x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .

Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹ 1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic; au fost dezvoltate două metode pentru aceasta.

Metoda 1 - Rezolvarea inegalităților prin reprezentarea grafică a unei funcții

Pentru a găsi un interval care îndeplinește condițiile inegalității sin x ‹ 1/2, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Pe axa de coordonate, construiți o sinusoidă y = sin x.
2. Pe aceeași axă, desenați un grafic al argumentului numeric al inegalității, adică o dreaptă care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
3. Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
4. Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.

Atunci când într-o expresie sunt prezente semne stricte, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a unei sinusoide este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:

Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluție trebuie inclus între paranteze drepte - . Răspunsul la problemă poate fi scris și ca următoarea inegalitate:

Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință folosind un cerc trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:

1. Mai întâi trebuie să desenați un cerc unitar.
2. Apoi trebuie să rețineți valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
3. Este necesar să se tragă o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
4. După aceea, tot ce rămâne este să selectați arcul de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
5. Notează răspunsul în forma cerută.

Să analizăm etapele soluției folosind exemplul inegalității sin x › 1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori

Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.

Dacă trebuie să rezolvați un exemplu pentru cos, atunci arcul de răspuns va fi situat simetric față de axa OX, nu OY. Puteți lua în considerare diferența dintre intervalele de soluție pentru sin și cos în diagramele de mai jos din text.

Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.

Arctangente și arccotangente sunt tangente la un cerc trigonometric, iar perioada minimă pozitivă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.

Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă trasăm valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Unghiuri

Sunt puncte de întrerupere pentru funcție, deoarece graficul tinde spre ele, dar nu ajunge niciodată la ele.

În cazul cotangentei, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.

Inegalități trigonometrice complexe

Dacă argumentul funcției de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o întreagă expresie care conține o necunoscută, atunci vorbim de o inegalitate complexă. Procesul și procedura de rezolvare sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la următoarea inegalitate:

Soluția grafică implică construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x folosind valori ale lui x alese arbitrar. Să calculăm un tabel cu coordonatele pentru punctele de control ale graficului:

Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.

Pentru a ușura găsirea unei soluții, să înlocuim argumentul funcției complexe

Intersecția a două grafice ne permite să determinăm aria valorilor dorite la care este îndeplinită condiția de inegalitate.

Segmentul găsit este o soluție pentru variabila t:

Cu toate acestea, scopul sarcinii este de a găsi toate variantele posibile ale necunoscutului x:

Rezolvarea inegalității duble este destul de simplă; trebuie să mutați π/3 în părțile extreme ale ecuației și să efectuați calculele necesare:

Răspuns la sarcină va arăta ca intervalul pentru inegalitatea strictă:

Astfel de probleme vor necesita experiența și dexteritatea elevilor în manipularea funcțiilor trigonometrice. Cu cât sunt rezolvate mai multe sarcini de pregătire în timpul procesului de pregătire, cu atât studentul va găsi mai ușor și mai rapid răspunsul la întrebarea de testare Unified State Exam.

La rezolvarea inegalităților care conțin funcții trigonometrice, acestea se reduc la cele mai simple inegalități de forma cos(t)>a, sint(t)=a și altele similare. Și deja cele mai simple inegalități sunt rezolvate. Să ne uităm la diverse exemple modalități de rezolvare a inegalităților trigonometrice simple.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea sin(t) > = -1/2.

Desenați un cerc unitar. Deoarece sin(t) prin definiție este coordonata y, se marchează punctul y = -1/2 pe axa Oy. Tragem o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa Ox. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.

Soluția acestei inegalități vor fi toate punctele cercului unitar situat deasupra acestor puncte. Cu alte cuvinte, soluția va fi arcul l. Acum este necesar să indicați condițiile în care un punct arbitrar va aparține arcului l.

Pt1 se află în semicercul drept, ordonata sa este -1/2, apoi t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pentru a descrie punctul Pt1, puteți scrie următoarea formulă:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate pentru t:

Păstrăm inegalitățile. Și deoarece funcția sinus este periodică, înseamnă că soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Raspuns: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea cos(t).<1/2.

Să desenăm un cerc unitar. Deoarece, conform definiției, cos(t) este coordonata x, marchem punctul x = 1/2 pe graficul pe axa Ox.
Tragem o linie dreaptă prin acest punct paralelă cu axa Oy. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.

Soluțiile vor fi toate punctele cercului unitar care aparțin arcului l. Să găsim punctele t1 și t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Am obținut inegalitatea pentru t: pi/3

Deoarece cosinusul este o funcție periodică, soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.

Răspuns: pi/3+2*pi*n

Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea tg(t)< = 1.

Perioada tangentei este egală cu pi. Să găsim soluții care aparțin intervalului (-pi/2;pi/2) semicerc drept. Apoi, folosind periodicitatea tangentei, notăm toate soluțiile acestei inegalități. Să desenăm un cerc unitar și să marchem o linie de tangente pe el.

Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului T = tg(t) trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Mulțimea acestor puncte va alcătui raza AT. Mulțimea punctelor Pt care va corespunde punctelor acestei raze este arcul l. Mai mult, punctul P(-pi/2) nu aparține acestui arc.

Slide 2

Rezolvarea inegalităților care conțin funcții trigonometrice se reduce de obicei la rezolvarea inegalităților simple de forma: sin(t);≥)a;cos(t);≥)a;tg(t);≥)a;ctg(t);≥) a; Metodele de rezolvare a acestor inegalități decurg destul de evident din reprezentarea funcțiilor trigonometrice pe cercul unitar.

Slide 3

Slide 4

Inegalități: sin x > a, sin x a, sin x

Slide 5

Slide 6

Inegalitatea trigonometrică sin(t)≥a.

Toate punctele Pt ale cercului unitar pentru valorile lui t care satisfac această inegalitate au o ordonată mai mare sau egală cu -1/2. Setul de astfel de puncte este arcul l, care este evidențiat cu aldine în figura de mai jos. Să găsim condiția ca punctul Pt să aparțină acestui arc. Punctul Pt se află pe semicercul drept, ordonata lui Pt este egală cu 1/2 și, prin urmare, ca t1 este convenabil să luăm valoarea t1=arcsin(-1/2)=-π/6. Să ne imaginăm că ocolim arcul l de la punctul Pt1 la Pt2 în sens invers acelor de ceasornic. Atunci t2 > t1 și, după cum este ușor de înțeles, t2=π-arcsin(-1/2)=7*π/6. Astfel, aflăm că punctul Pt aparține arcului l dacă -π/6 ≤ t ≤ 7*π/6. Astfel, soluții la inegalitatea aparținând intervalului [-π/2 ; 3*π/2] de lungime 2*π sunt următoarele: -π/6 ≤ t ≤ 7*π/6. Datorită periodicității sinusului, soluțiile rămase se obțin adunând la numerele găsite forma 2πn, unde n este un număr întreg. Astfel, ajungem la răspunsul: -π/6+2πn≤t≤7π/6+2πn, n este un număr întreg.

Slide 7

Exemplul 1

Rezolvarea inegalității Să desenăm un cerc trigonometric și să marchem pe el punctele pentru care ordonata depășește Pentru x soluția acestei inegalități va fi De asemenea, este clar că dacă un anumit număr x diferă de orice număr din intervalul indicat cu 2π n atunci sin x va fi, de asemenea, nu mai mic. Prin urmare, la capetele segmentului găsit al soluției trebuie doar să adăugați 2π n, unde În cele din urmă, constatăm că soluțiile inegalității inițiale vor fi toate unde Răspuns. Unde

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Inegalitatea trigonometrică cos(t)

Să luăm în considerare rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice cu cosinus folosind exemplul de rezolvare a inegalității cos(t) t1 și t2=2π-arccos(1/2)=5π/3. Punctul aparține arcului selectat l (excluzând capetele acestuia) cu condiția ca π/3