Нерівності в курсі алгебри займають важливе місце. Їм відведено не мала частинау змісті всього курсу алгебри. Завдяки вмінням вирішувати різноманітні нерівності, у багатьох інших науках можна мати успіхи. Щоб матеріал, який викладається на уроці, краще засвоювався, рекомендується використовувати різну наочність, у тому числі презентації.

слайди 1-2 (Тема презентації "Рішення квадратних нерівностей. Частина 1", приклад)

Ця презентація призначена для уроку пояснення нового матеріалу, що входить до системи уроків у розділі «Нерівності». Перш ніж приступати до вивчення цієї теми «Розв'язання квадратних нерівностей», учні повинні отримати необхідний обсяг знань про те, що таке нерівність, властивості числових нерівностей, як вирішуються лінійні нерівності. Презентації з цих тем є на даному ресурсі.

На початку презентації автор пропонує учням познайомитися з поняттям квадратних нерівностей. Він визначає їх як нерівність виду ax2+bx+c>0, де a>0. Для того, щоб навчитися вирішувати такі нерівності, достатньо знати, як вони виглядають. Тому автор відразу пропонує вивчення способів рішення розглядати відразу на прикладах. І перший такий приклад демонструє, що потрібно розглянути функцію, що знаходиться у лівій частині нерівності. Слід збудувати її графік. Так як завдання підрозділяється на чотири підпункти, і відрізняються всі ці нерівності тільки знаком, то достатньо для всіх цих випадків одного графіка. По ньому тепер слід визначати рішення.

Для першого випадку потрібно знайти всі значення функції, які набувають лише позитивних значень. На графіці цьому будуть відповідати всі точки графіка, які лежать строго вище від осі абсцис. Для того, щоб визначити рішення другого випадку, необхідно розглядати всі точки графіка цієї функції, які лежать строго нижче від осі абсцис. Оскільки знак нерівності строго менший за нуль. Третій випадок відрізняється від першого тільки тим, що функція може набувати ще й значення нуль, тому до вирішення першого випадку додається ще й нуль.

слайди 3-4 (приклади)

Аналогічно і четвертий випадок, пов'язаний із другим. Він має ті ж самі рішення, включаючи нуль. На цьому прикладі саме автор показує, як правильно записуються рішення нерівності в різних випадках. тобто в якому випадку дужка кругла, в якому квадратна.

Далі другий приклад, який показує трохи інший спосіб розв'язання квадрантної нерівності. Тут вже потрібно побудувати графік функції не в системі координат, а на прямій, де мають бути відзначені точки перетину графіка з віссю абсцис. А потім, дивлячись на знак нерівності, слід визначати, яка частина графіка потрібна як рішення, що лежить нижче або вище цієї прямої. У разі беруться ділянки графіка, які лежать нижче прямої.

Тому інтервал рішень буде подвійним. На цьому ж слайді є ще один приклад, де показаний випадок, коли графік не перетинає пряму, лише стосується її в одній точці. Але оскільки за умовою знак коштує менше або дорівнює нулю, то має вибиратися ділянка, яка розташована нижче за пряму. Але таких ділянок немає, весь графік лежить вище. Але оскільки за умови допускається рівність нулю, то єдиним рішенням буде значення змінної, що дорівнює 0,5.

слайди 5-6 (алгоритм рішення, теорема)

Далі автор приходить до алгоритму розв'язання квадратних нерівностей. Він складається із трьох пунктів. Відповідно до першого пункту, слід розв'язати квадратне рівняння, прирівнявши квадратний тричлен до нуля. Потім отримане коріння відзначити на прямій, яка є віссю x, і від руки провести через ці точки параболу, враховуючи напрямок гілок. І потім за цією моделлю знайти всі рішення нерівності.

І на завершення презентації автор пропонує розглянути теорему, яка пов'язує кількість розв'язків нерівності від знака дискримінанта тричлена. Це означає, що з негативному дискримінанті при позитивному першому коефіцієнті нерівність ax2+bx+c, яке більше чи одно нулю, немає рішень, і якщо більше нуля, то рішення - все дійсні значення змінної x.

Ця презентація може стати незамінною деталлю уроку на тему «Вирішення квадратних нерівностей». Але ця презентація є лише першою частиною. Тому слід продовження цієї теми. А знайти презентацію, яка стане продовженням цієї можна також у нас. За бажанням вчителя в презентацію можна додати приклади.

Графічний метод розв'язання квадратних нерівностей Алгебра 8 клас

Визначення Квадратними нерівностями називають нерівності виду ах 2 + b х +c> 0 , ах 2 + b х +c

За графіком функції y= х 2 – 6 х + 8 визначити, за яких значень х а) y=0, б) у >0, в) y 0 при х 4 y

Алгоритм розв'язання квадратної нерівності Знайти коріння квадратного тричлена ах 2 + b х +c Відзначити знайдене коріння на осі х і визначити куди спрямовані (вгору або вниз) гілки параболи, що є графіком функції у=ах 2 + b х +c ; зробити малюнок графіка. З допомогою отриманої геометричної моделі визначити, яких проміжках осі х ординати графіка позитивні (негативні); увімкнути ці проміжки у відповідь.

Приклад 1 Вирішити нерівність: x 2 – 9  0 x 2 – 9 = 0, x 2 = 9 , x 1,2 =  3, відзначаємо коріння на осі Ох Гілки параболи спрямовані верх (а =1, 1>0) Чортим ескіз графіка Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нерівності нестрогий “≥”) Відповідь: х  - 3, х  3 - 3 3 х  х  - 3 х  3

Приклад 2 Розв'язати нерівність:  х 2 – х +12 > 0  х 2 – х +12 = 0 , х 1 = - 4, х 2 = 3 Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1 ”) Відповідь: - 4 - 4

Приклад 3 Розв'язати нерівність: х 2 + 9 > 0 х 2 + 9 = 0, х 2 =  9 ,  9 0) Рисуємо ескіз графіка Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище за осю Ох. Відповідь: х – будь-яке число (або (- ∞; + ∞)) . х Усі точки параболи лежать вище від осі Ox . Нерівність виконується за будь-якого значення х

Приклад 4 Вирішити нерівність: х 2 + 9 0) Рисуємо ескіз графіка Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований нижче за осю Ох. Відповідь: немає рішень х На параболі точок, що лежать нижче від осі Ox, немає. Нерівність рішень не має.

Приклад 5 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х-9  0 - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 Гілки параболи спрямовані вниз (а =  4,  4

Приклад 6 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х-9 > 0 - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 Гілки параболи спрямовані вниз (а =  4,  4

Приклад 7 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х-9  0 - 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 Гілки параболи спрямовані вниз (а =  4,  4

Приклад 8 Вирішити нерівність: - 4х2+12х-9

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

1.Демонстраційний матеріал для систематизації та узагальнення знань з вищевказаної теми, виконаний у вигляді мультимедійної презентаціїз відео та звуком, що дозволить використати її і на уроці і для с...

Інструкційна карта Розв'язання квадратних нерівностей

• 1. Вводимо відповідну функцію у = ах 2 + bx + с.

2. Визначаємо напрямок гілок параболи у = ах 2 + bx + с

(при а  0 гілки спрямовані нагору; при а  0 гілки спрямовані вниз.

3. Знаходимо нулі функції, тобто. вирішуємо рівняння ах 2 +bx+с=про.

4. Якщо рівняння має коріння, то відзначаємо коріння на

координатної прямої і схематично малюємо параболу відповідно до напряму гілок. Якщо рівняння не

має коріння, то схематично малюємо параболу відповідно до напряму гілок.

5. Знаходимо розв'язання нерівності з урахуванням сенсу знаку нерівності.

Приклад 1 D  0

Вирішити нерівність -х 2 - 2x + 3  0.

Приклад 1 D  0

Вирішити нерівність -х 2 - 2x + 3  0.

• Нехай у = -х 2 - 2x+3.
• а = -1  0, гілки спрямовані вниз.
• Розв'яжемо рівняння -х 2 - 2x + 3 = 0

х = 1 та х = -3.

4. Зазначимо числа 1 та -3 на координатній

прямий та побудуємо ескіз графіка.

5. Т.к. знак нерівності (  ), то рішенням

є відрізок  -3; 1  .

Відповідь:  -3; 1  .

Приклад 2 D = 0

Вирішити нерівність 4х 2 + 4x + 1  0.

Приклад 2 D = 0

Вирішити нерівність 4х 2 + 4x + 1  0.

• Нехай f(x) = 4х 2 +4x+1.
• а = 4  0 гілки направлені вгору.
• Розв'яжемо рівняння 4х 2 + 4x + 1 = 0

х 1 = х 2 = -0,5.

4. Парабола стосується осі абсцис.

5. Т.к. знак нерівності (  ), то рішенням

є всі числа, крім x = -0,5.

Відповідь: (-  ; -0,5)  (-0,5; +  ).

• Розв'язанням нерівності 4х 2 + 4x + 1  0 є проміжок

(-  ; +  ).

• Розв'язанням нерівності 4х 2 + 4x + 1  0 є лише число -0,5.
• Нерівність 4х 2 + 4x + 1  0 рішення немає.

Приклад 3 D  0

Вирішити нерівність -х 2 - 6x - 10  0.

Приклад 3 D  0

Вирішити нерівність -х 2 - 6x - 10  0.

• Нехай f(x) = -х 2 - 6x – 10.
• а = -1  0, гілки спрямовані вниз.
• Рівняння -х 2 - 6x - 10 = 0 рішення немає.

4. Парабола не перетинає вісь х і не стосується її.

5. Т.к. знак нерівності (  ), то рішенням є всі числа.

Відповідь: (-  ; +  ).

Приклад 3 D  0

Нерівність -х 2 - 6x - 10  0 рішення не

Цю презентацію можна використовувати при поясненні теми «Квадратні нерівності». Підручник Алгебра 9 клас. Автори: Г.Б. Дорофєєв, С.Б. Суворова, Є.А. Бунімович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва. За допомогою ефектів анімації в доступній формі вводитися поняття квадратної нерівності. У презентації надано алгоритм розв'язання квадратної нерівності, приклад рішення за алгоритмом, слайд для усної роботи з готового креслення графіка функції.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі акаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Квадратні нерівності Вчитель математики МОУ ЗОШ №57 м. Астрахані Буніна Н. В.

у 0 у >0 У=0 х у 2 - 3 1 у=х+х-6 2 При х= -3 та х= 2 При -3 2 При х= -3 та х= 2 х+х-6= 0 При -3 0 у=0 у 0 2 2 2 Нерівності виду ах+ bx+c ≥ 0 , ах+ bx+c > 0 або ах + bx+c ≤0 , ах+ bx+c

Алгоритм розв'язання квадратної нерівності Розглянути функцію у=ах 2 + bx + c Знайти нулі функції (розв'язати рівняння Визначити напрямок гілок параболи Схематично побудувати графік функції. Враховуючи знак нерівності, виписати відповідь. ах 2 + bx + c =0

D >0 D =0 D 0 а

х 2,5 1 Вирішити нерівність 2х -7х+5 0 гілки параболи спрямовані нагору Відповідь: (1; 2,5) 1 . 2х -7х+5 = 0 D=b-4ac=(-7)-4*2*5=9 х =1 , х = 2,5 1 2 2 2 2 Приклад

1 3 y x у= х - 2х - 3 2 Розв'яжіть нерівність a) х - 2х – 3 >0 2 b) х - 2х - 3≥ 0 2 в) х - 2х – 3

Розв'язати нерівність - 4х +2х≥0 2 1. - 4х +2х=0 2 4х -2х=0 2 2х(2х -1) =0 Х =0 х =0,5 1 2 2. а

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Методичний посібник: "Система вправ. Нерівності та системи нерівностей".

У даному посібнику запропонована система вправ з рішеннями на тему: "Нірівності та системи нерівностей" для учнів 10-11 класів.

Зведення логарифмічної нерівності до системи раціональних нерівностей

У цьому розробці розглядається стандартний спосіб розв'язання логарифмічного нерівності основу якого перебуває змінна. Стандартний метод рішення передбачає розбір д...

Контрольно-узагальнюючий урок «Рішення нерівностей та систем нерівностей з однією змінною»

Контрольно-узагальнюючий урок «Рішення нерівностей та систем нерівностей з однією змінною". Мета уроку: узагальнення, систематизація та перевірка знань, умінь та навичок у...

Цей урок є закріплюючим уроком на тему "Рішення нерівностей і систем нерівностей" у 8 класі. На допомогу вчителю створено презентацію.

Тема 6. Алгебратичні нерівності. КВАДРАТНІ НЕРІВЕНСТВА. РАЦІОНАЛЬНІ НЕРАВЕНСТВА ВИЩИХ СТУПЕНЬ. ДРОБНО-РАЦІОНАЛЬНІ НЕРАВЕНСТВА. Теорія. Ключові методи розв'язання задач. Вправи.

Підсумковий контроль на теми № 6,7: «Алгебраїчні нерівності. Квадратні нерівності. Раціональні нерівності найвищих ступенів. Дробно-раціональні нерівності. Нерівності із модулем. Ірраціональні нерівності»

Шановні колеги! Актуальним завданням на сьогоднішній день є якісна підготовка учнів до державної підсумкової атестації (ДІА) та єдиного державного іспиту(ЄДІ) з математики, ...

Визначення Квадратними нерівностями називають нерівності виду ах 2 +bх+c>0, ах 2 +bх+c 0, ах 2 +bх+c"> 0, ах 2 +bх+c"> 0, ах 2 +bх+c" title="(!LANG:Визначення Квадратними нерівностями називають нерівності виду ах 2 +bх+c>0 , ах 2+bх+c"> 0, ах 2 +bх+c" title="Визначення Квадратними нерівностями називають нерівності виду ах 2 +bх+c>0, ах 2 +bх+c"> !}

За графіком функції y= х 2 – 6х +8 визначити, за яких значень х а)y=0, б) у>0, в) y0 при х 4 y 0, в) y0 при х 4 y"> 0, в) y0 при х 4 y"> 0, в) y0 при х 4 y" title="(!LANG:За графіком функції y= х 2 – 6х +8 визначити, за яких значень х а)y=0, б) у>0, в) y0 при х 4 y"> title="За графіком функції y= х 2 – 6х +8 визначити, за яких значень х а)y=0, б) у>0, в) y0 при х 4 y"> !}

Алгоритм розв'язання квадратної нерівності 1.Знайти коріння квадратного тричлена ах 2 +bх+c 2.Відзначити знайдені корені на осі х і визначити куди спрямовані (вгору або вниз) гілки параболи, що є графіком функції у=ах 2 +bх+c; зробити малюнок графіка. 3.За допомогою отриманої геометричної моделі визначити, на яких проміжках осі х ординати графіка позитивні (негативні); увімкнути ці проміжки у відповідь.

0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нера" ​​title="(!LANG:Приклад 1 Розв'язати нерівність: x 2 – 9 0 1.x 2 – 9 = 0, x 2 = 9, x 1,2 = 3, відзначаємо коріння на осі Ох 2.Гілки параболи спрямовані верх (а =1, 1>0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нера" class="link_thumb"> 5 !}Приклад 1 Вирішити нерівність: x 2 – x 2 – 9 = 0, x 2 = 9, x 1,2 = 3, відзначаємо коріння на осі Ох 2.Гілки параболи спрямовані верх (а =1, 1>0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нерівності нестрогий) 5.Ответ: х - 3, х х х - 3 х 3 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нера"> 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нерівності нестрогий) 5. Відповідь: х - 3, х 3 - 3 3 х х - 3 х 3 "> 0) 3. Чортим ескіз графіка 4. Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нера" ​​title="(!LANG:Приклад 1 Розв'язати нерівність: x 2 – 9 0 1.x 2 – 9 = 0, x 2 = 9, x 1,2 = 3, відзначаємо коріння на осі Ох 2.Гілки параболи спрямовані верх (а =1, 1>0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох"> title="Приклад 1 Розв'язати нерівність: x 2 – 9 0 1.x 2 – 9 = 0, x 2 = 9, x 1,2 = 3, відзначаємо коріння на осі Ох 2.Гілки параболи спрямовані верх (а =1, 1>0 ) 3. Чортимо ескіз графіка 4. Шукаємо значення х, при яких точки параболи лежать вище або на осі Ох (знак у нера"> !}

0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1" title="(!LANG:Приклад 2 Розв'язати нерівність: х 2 – х +12 > 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1" class="link_thumb"> 6 !}Приклад 2 Розв'язати нерівність: х 2 – х +12 > 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1) 5 .Відповідь: - 4 - 4 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1"> 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1) 5.Ответ: - 4 - 4 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1" title="(!LANG:Приклад 2 Розв'язати нерівність: х 2 – х +12 > 0 1. х 2 - х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1"> title="Приклад 2 Розв'язати нерівність: х 2 – х +12 > 0 1. х 2 – х +12 = 0, х 1 = - 4, х 2 = 3 2.Гілки параболи спрямовані вниз (a = - 1, -1">!}

0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований вище за осі "title="(!LANG:Приклад 3 Розв'язати нерівність: х 2 + 9 > 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище осі" class="link_thumb"> 7 !}Приклад 3 Розв'язати нерівність: х > 0 1.х = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище за осю Ох. 5.Ответ: х – будь-яке число (або (-; +)). х Усі точки параболи лежать вище від осі Ox. Нерівність виконується за будь-якого значення х 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований вище за осі "> 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище за осю Ох. Нерівність виконується за будь-якого значення х"> 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований вище за осі " title="(!LANG :Приклад 3 Розв'язати нерівність: х 2 + 9 > 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище за осю"> title="Приклад 3 Розв'язати нерівність: х 2 + 9 > 0 1.х 2 + 9 = 0, х 2 = 9, 9 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований вище за осю"> !}

0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований нижче ос" title="(!LANG:Приклад 4 Вирішити нерівність: х 2 + 9 0) графік функції розташований нижче за" class="link_thumb"> 8 !}Приклад 4 Вирішити нерівність: х 0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований нижче осі Ох. 5.Відповідь: немає рішень х На параболі точок, що лежать нижче за осі Ox немає. Нерівність рішень не має. 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований нижче ос"> 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х при яких графік функції розташований нижче осі Ох. 5.Відповідь: немає рішень х На параболі точок, що лежать нижче осі Ox немає. Нерівність рішень не має."> 0) 3.Чортимо ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований нижче ос" title="(!LANG:Приклад 4 Розв'язати нерівність: х 2 + 9 0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований нижче ос"> title="Приклад 4 Вирішити нерівність: х 2 + 9 0) 3.Чертим ескіз графіка 4.Шукаємо значення х, при яких графік функції розташований нижче ос"> !}

Приклад 5 Вирішити нерівність: - 4х 2 +12х х 2 +12х-9 = 0, D = 0, x = 1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4

Приклад 6 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х-9> х 2 +12х-9 = 0, D = 0, x = 1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4 0 1.- 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4"> 0 1.- 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4"> 0 1.- 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4" title="(!LANG:Приклад 6 Вирішити нерівність: - 4х 2 +12х-9>0 1.- 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 2 .Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4"> title="Приклад 6 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х-9>0 1.- 4х 2 +12х-9=0, D = 0, x=1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4"> !}

Приклад 7 Розв'язати нерівність: - 4х 2 +12х х 2 +12х-9 = 0, D = 0, x = 1,5 2.Гілки параболи спрямовані вниз (а = 4, 4